Question

12．设{a_n}是等比数列，公比q=$\sqrt{2}$，S_n为{a_n}的前n项和．记T_n=$\frac{17{S}_{n}-{S}_{2n}}{{a}_{n+1}}$，n∈N^*，设T_m为数列{T_n}的最大项，则m=（　　）

• A． 2
• B． 1
• C． 4
• D． 3

Answer 1

分析 首先用公比q和a₁分别表示出S_n和S_2n，代入T_n易得到T_n的表达式，再根据基本不等式得出m．

解答 解：设等比数列的首项为a₁，则a_n=a₁（$\sqrt{2}$）^n-1，S_n=$\frac{{a}_{1}[1-（\sqrt{2}）^{n}]}{1-\sqrt{2}}$，
∴T_n=$\frac{17{S}_{n}-{S}_{2n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{17•\frac{{a}_{1}[1-（\sqrt{2}）^{n}]}{1-\sqrt{2}}-\frac{{a}_{1}[1-（\sqrt{2}）^{2n}]}{1-\sqrt{2}}}{{a}_{1}•（\sqrt{2}）^{n}}$=$\frac{1}{1-\sqrt{2}}$•[（$\sqrt{2}$）ⁿ+$\frac{16}{（\sqrt{2}）^{n}}$-17]，
∵（$\sqrt{2}$）ⁿ+$\frac{16}{（\sqrt{2}）^{n}}$≥8，当且仅当（$\sqrt{2}$）ⁿ=$\frac{16}{（\sqrt{2}）^{n}}$即n=4时取等号，
所以当m=4时，T_n有最大值．
故选C．

点评 本题考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题．