Question

2．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=$\frac{1}{2}n{a_n}+{a_n}$-c（c是常数，n∈N^*），a₂=6．
（I）求c的值及数列{a_n}的通项公式；
（II）设b_n=$\frac{{{a_n}-2}}{{{2^{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （I）利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出；
（II）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由已知S_n=$\frac{1}{2}n{a_n}+{a_n}$-c（c是常数，n∈N^*），
所以当n=1时，S₁=$\frac{1}{2}$a₁+a₁-c，
解得a₁=2c，
当n=2时，S₂=a₂+a₂-c，
即a₁+a₂=a₂+a₂-c，
解得a₂=3c，∴3c=6，
解得c=2．
则a₁=4，数列{a_n}的公差d=a₂-a₁=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n+2．
（Ⅱ）因为b_n=$\frac{{{a_n}-2}}{{{2^{n+1}}}}$=$\frac{2n+2-2}{{2}^{n+1}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
所以T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，①
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+$\frac{3}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，②
①-②，得$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
所以T_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了递推关系、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．