Question

常用以下方法求函数y=[f（x）]^g（x）的导数：先两边同取以e为底的对数（e≈2.71828…，为自然对数的底数）得lny=g（x）lnf（x），再两边同时求导，得

1

y

•y′=g′（x）lnf（x）+g（x）•[lnf（x）]′，即y′=[f（x）]^g（x）{g′（x）lnf（x）+g（x）•[lnf（x）]′}．运用此方法可以求函数h（x）=x^x（x＞0）的导函数．据此可以判断下列各函数值中最小的是（　　）

• A、h（

  1

  3

  ）
• B、h（

  1

  e

  ）
• C、h（

  1

  2

  ）
• D、h（

  2

  e

  ）

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的概念及应用

分析：根据定义，先求原函数的导数，分别令导数大于0，小于0，解不等式求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值．

解答： 解：（h（x））′=x^x[x′lnx+x（lnx）′]
=x^x（lnx+1），
令h（x）′＞0，解得：x＞

1

e

，令h（x）′＜0，解得：0＜x＜

1

e

，
∴h（x）在（0，

1

e

）递减，在（

1

e

，+∞）递增，
∴h（

1

e

）最小，
故选：B．

点评：本题考查函数的导数的应用，极值的求法，基本知识的考查．