Question

已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=

1

2

BC=2，∠ABC=90°，△PAB是等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求证：BD⊥DC；
（2）求三棱锥P-BCD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得∠ADB=∠DBC=45°，过D作DM⊥BC，垂足为M，则DM=AB=MC=2，从而∠BDC=90°，由此能证明BD⊥DC．
（2）取AB中点O，连结PO，由已知得PO⊥平面ABCD，S_△BCD=S_梯形ABCD-S_△ABD，由此能求出V_P-BCD．

解答： （1）证明：∵AD=2，AB=2，AD⊥AB，
∴∠ADB=∠DBC=45°，
过D作DM⊥BC，垂足为M，则DM=AB=MC=2，
∴∠DCM=45°，∴∠BDC=90°，∴BD⊥DC．…（6分）
（2）解：取AB中点O，连结PO，
∵△PAB是等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，
∵AD=AB=

1

2

BC=2，∴PO=

22-12

=

3

，
∵S_△BCD=S_梯形ABCD-S_△ABD=

1

2

(2+4)×2-

1

2

×2×2=4，
∴V_P-BCD=

1

3

×PO×S△BCD=

1

3

×

3

×4=

4 3

3

．…（12分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要注意空间中线线、线面、面面间的位置关系及性质的合理运用．