Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，以坐标原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知点P(0,1)，Q(0,2)，设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T.求证：点T在椭圆C上．

 

Answer 1

(1)＝1 (2)见解析

【解析】(1)由题意知，椭圆C的短半轴长为圆心到切线的距离，即b＝＝.因为离心率e＝＝，所以＝＝.所以a＝2.

所以椭圆C的方程为＝1.

(2)由题意可设点M，N的坐标分别为(x0，y0)，(－x0，y0)，则直线PM的方程为y＝x＋1，①

直线QN的方程为y＝x＋2.②

设点T的坐标为(x，y)，

联立①②解得x0＝，y0＝.

因为点M，N在椭圆C上，故＝1，

所以.整理得＝(2y－3)2，所以－12y＋8＝4y2－12y＋9，即＝1.

所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．