Question

【题目】如图，椭圆的左、右焦点分别为，.已知点在椭圆上，且点M到两焦点距离之和为4.

（1）求椭圆的方程；

（2）设与MO（O为坐标原点）垂直的直线交椭圆于A，B（A，B不重合），求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由M到两焦点距离之和为4可得a，再将M代入方程可得b即可得到椭圆方程；

（2）由已知可设AB的方程为，，联立椭圆方程得到根与系数的关系，以及m的范围，将其代入中计算即可得到答案.

解：（1）∵椭圆的左、右焦点分别为，.

点在椭圆上，且点M到两焦点距离之和为4，

∴，，∴椭圆方程为，

把点代入，得，解得，

∴椭圆的方程为.

（2）∵，

与MO（O为坐标原点）垂直的直线交椭圆于A，B（A，B不重合），

∴设AB的方程为，

联立，消去y，得：，

，

解得，∴，

设，，则，，

∴

，

∴求的取值范围是.

【点晴】

本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到向量的数量积的运算，考查学生数学运算能力，是一道中档题.