【题目】一直函数,其中
(1)讨论的单调性
(2)设曲线与
轴正半轴的交点为
,曲线在点
处的切线方程为
,求证:对于任意的正实数
,都有
(3)若关于的方程
(
为实数)有两个正实根
,求证:
【答案】
(1)
当为奇数时,
在
上单调递减,在
内单调递增;当
为偶数时,
在
上单调递增,
在
上单调递减1
(2)
见解答
(3)
见解答
【解析】(1)由,可得,其中
且
,下面分两种情况讨论:当
为奇数时:令
,解得
或
,当
变化时,
的变化情况如下表:
x | (- | (-1,1) | (1,+ |
F’(x) | — | + | — |
F(x) |
所以,在
上单调递减,在
内单调递增;当
为偶数时,当
,即
时,函数
单调递增;当
,即
时,函数
单调递减,所以,
在
上单调递增,
在
上单调递减
(2)证明:设点的坐标为
,则
,曲线
在点
处的切线方程为
,即
,令
,即
,则
由于
在
上单调递增,故
在
上单调递减,又因为
,所以,当
时,
,当
时,
,所以
在
内单调递增,在
内单调递减,所以对任意的正实数
都有
,即对任意的正实数
,都有
(3)证明:不妨设,由(2)知
,设方程
的根为
,可得
,当
时,
在
上单调递减,又由(2)知
,可得
。类似的,设曲线
在原点处的切线方程为
,可得
,当
,
,即对任意
。设方程
的根为
,可得
,因为
在
上单调递增,且
因此
.由此可得
,因为
,所以
,故
,所以
【考点精析】认真审题,首先需要了解导数的几何意义(通过图像,我们可以看出当点趋近于
时,直线
与曲线相切.容易知道,割线
的斜率是
,当点
趋近于
时,函数
在
处的导数就是切线PT的斜率k,即
),还要掌握基本求导法则(若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导)的相关知识才是答题的关键.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(2015·陕西)设fn(x)=x+x2+x...+xn-1, nN, n≥2。
(1)fn'(2)
(2)证明:fn(x)在(0,)内有且仅有一个零点(记为an), 且0<an-
<
(
)n.
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【题目】已知,函数
.
(1)当时,解不等式
;
(2)若关于的方程
的解集中恰有一个元素,求
的取值范围;
(3)设,若对任意
,函数
在区间
上的最大值与最小值的差不超过1,求
的取值范围.
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【题目】如图,三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,
(1)(Ⅰ)求三棱锥P-ABC的体积;
(2)(Ⅱ)证明:在线段PC上存在点M,使得ACBM,并求
的值.
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【题目】已知椭圆C:,过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,直线AE与直线x=3交于点M。
(1)(I)求椭圆C的离心率;
(2)(II)若AB垂直于x轴,求直线BM的斜率。
(3)(III)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由。
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【题目】某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计,发现消费金额
(单位:万元)都在区间内,其频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ)直方图中的 ;
(Ⅱ)在这些购物者中,消费金额在区间内的购物者的人数为 .
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【题目】
(2015·重庆)如题(21)图,椭圆的左右焦点分别为
且过
的直线交椭圆于
两点,
且。
(1)若求椭圆的标准方程。
(2)若,且
,试确定椭圆离心率的取值范围。
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【题目】(2015·陕西)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:
T(分钟) | 25 | 30 | 35 | 40 |
频数(次) | 20 | 30 | 40 | 10 |
(1)求T的分布列与数学期望ET;
(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.
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