Question

【题目】已知函数f（x）=4x﹣2x+1+3，当x∈[﹣2，1]时，f（x）的最大值为m，最小值为n，
（1）若角α的终边经过点P（m，n），求sinα+cosα的值；
（2）g（x）=mcos（nx+）+n，求g（x）的最大值及自变量x的取值集合．

Answer 1

【答案】解：（1）∵函数f（x）=4x﹣2x+1+3=（2x）2﹣22x+3=（2x﹣1）2+2，
当x∈[﹣2，1]时，2x∈．
∴当2x=1，即x=0时，函数f（x）取得最小值2，即n=2．
又f（﹣2）=，f（1）=3．
∴f（x）的最大值为3，即m=3，
∴角α的终边经过点P（3，2），
∴sinα==，cosα=．
∴sinα+cosα=．
（2）g（x）=mcos（nx+）+n=3cos．
当2x+=2kπ，解得x=kπ﹣（k∈Z）时，cos取得最大值1，g（x）取得最大值3．
此时x的取值集合为{x|x=kπ﹣（k∈Z）}．
【解析】（1）利用指数函数与二次函数的单调性可得m，n，再利用三角函数的定义即可得出；
（2）利用余弦函数的单调性即可得出．
【考点精析】掌握函数的最值及其几何意义是解答本题的根本，需要知道利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值．