Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA₁⊥平面ABC，D，E分别是CC₁，AB的中点．
（1）求证：CE∥平面A₁BD；
（2）若H为A₁B上的动点，CH与平面A₁AB所成的最大角的正切值为

15

2

，求侧棱AA₁的长．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）通过补形，延长延长A₁D交AC的延长线于点F，连接BF，从而可证明CE∥BF，然后由线面平行的判定定理得证；
（2）由已知找出C点在平面A₁AB上的射影CE，CE为定值，要使直线CH与平面A₁AB所成最大角的正切值为

15

2

，则点H到E点的距离应最小，由此得到H的位置，进一步求出EH的长度，则在直角三角EHB中可得到BH的长度，由平几相似关系得AA₁．

解答： （1）证明：延长A₁D交AC的延长线于点F，连接BF．
∵CD∥AA₁，且CD=

1

2

AA₁，
∴C为AF的中点．
∵E为AB的中点，
∴CE∥BF．
∵BF?平面A₁BD，CE?平面A₁BD，
∴CE∥平面A₁BD．
（2）解：∵AA₁⊥面ABCCE?面ABC，∴AA₁⊥CE
又△ABC等边，E是中点，
∴CE⊥AB，CE=

3

2

AB=

3

∴CE⊥面AA₁B，连接EH，则∠EHC为CH与平面AA₁B所成的角．
在Rt△CEH中，tan∠EHC=

CE

EH

=

3

EH

，
∴EH最短时∠EHC最大
此时，EH⊥A₁B，
∴tan∠EHC=

CE

EH

=

3

EH

=

15

2

，∴EH=

2 5

5

由平几相似关系得AA₁=4．

点评：本小题主要考查空间线面位置关系、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法．是中档题．