Question

关于函数f（x）=|sinx|+|cosx|，给出下列四个命题：
①

π

2

为f（x）的一个周期；       
②f（x）是奇函数；
③f（x）关于直线x=

3π

4

对称；   
④当x∈[0，2π]时，f（x）∈[1，

2

]；
⑤当x∈[0，

π

2

]时，f（x）单调递增．
其中正确的命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,三角函数的图像与性质

分析：应用周期函数的定义即可判断①；应用奇偶函数的定义即可判断②；验证f（

3π

2

-x）=f（x），即可判断③；
将f（x）变形为f（x）=

1+|sin2x|

，由x的范围即可判断④；根据条件化简f（x），求出x+

π

4

的范围，即可判断⑤．

解答： 解：①由于f（x+

π

2

）=|sin（x+

π

2

）|+|cos（x+

π

2

）|=|cosx|+|sinx|=f（x），故

π

2

为f（x）的一个周期，即①正确；
②由于f（-x）=|sin（-x）|+|cos（-x）|=|sinx|+|cosx|=f（x），故f（x）是偶函数，故②错；
③由于f（

3π

2

-x）=|sin（

3π

2

-x）|+|cos（

3π

2

-x）|=|cosx|+|sinx|=f（x），故f（x）关于直线x=

3π

4

对称，故③正确；
④当x∈[0，2π]时，f（x）=

1+2|sinxcosx|

=

1+|sin2x|

，x=

π

4

取最大值且为

2

，x=0时，取最小值1，故④正确；
⑤当x∈[0，

π

2

]时，f（x）=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），由于

π

4

≤x+

π

4

≤

3π

4

，不为单调区间，故⑤错．
故答案为：①③④．

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查三角函数的图象和性质，注意应用定义和性质解题．