Question

4．已知椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{b^2}$=1（0＜b＜3），左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₁的直线交椭圆于两点A，B，若|BF₂|+|AF₂|的最大值为8，则b的值是$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF₂|+|AF₂|=12-|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值$\frac{2{b}^{2}}{3}$代入|BF₂|+|AF₂|=12-|AB|，由|BF₂|+|AF₂|的最大值等于8列式求b的值．

解答 解：由0＜b＜3可知，焦点在x轴上，
∵过F₁的直线l交椭圆于A，B两点，∴|BF₂|+|AF₂|+|BF₁|+|AF₁|=2a+2a=4a=12，
∴|BF₂|+|AF₂|=12-|AB|．
当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF₂|+|AF₂|值最大，
此时|AB|=$\frac{2{b}^{2}}{3}$，∴8=12-$\frac{2{b}^{2}}{3}$，
解得b=$\sqrt{6}$．
故答案为：$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，解答此题的关键是明确过椭圆焦点的弦中通径的长最短，是中档题．