Question

13．已知函数f（x）=aln（x+1）-x，a∈R．
（1）若x＞0，试探究函数f（x）的极值；
（2）若对任意的x∈[1，2]，f（x）+x²≤0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导函数，根据导函数表达式对a分类讨论，利用函数的单调性判断函数的极值；
（2）对不等式整理得a≤$\frac{x-{x}^{2}}{ln（x+1）}$，把恒成立问题转化为函数的最小值问题，利用导函数判断函数的单调性，根据单调性求出函数的最小值．

解答 解：（1）f（x）=aln（x+1）-x，a∈R．
f'（x）=$\frac{a}{x+1}$-1=$\frac{-x-1+a}{x+1}$（x＞-1），
当a≤0时，f'（x）＜0时，f'（x）＜0恒成立，函数递减，无极值；
当a＞0时，x在（-1，a-1）时，f'（x）＞0，在（a-1，+∞）时，f'（x）＜0，
∴x=a-1为极大值点，
∴函数在a＞0时有极大值为alna-a+1；
（2）f（x）+x²≤0恒成立，
∴aln（x+1）-x+x²≤0，
∴a≤$\frac{x-{x}^{2}}{ln（x+1）}$，
令g（x）=$\frac{x-{x}^{2}}{ln（x+1）}$，g'（x）=$\frac{（1-2x）ln（x+1）-\frac{x-{x}^{2}}{x+1}}{[ln（x+1）]^{2}}$，
∵当x∈[1，2]，g'（x）＜0恒成立，g（x）递减，
∴g（x）的最小值为g（2）=-$\frac{2}{ln3}$．
∴a≤-$\frac{2}{ln3}$．

点评 考查了导函数的应用，函数的构造和恒成立问题的转化思想．