Question

3．已知数集A={a₁，a₂…a_n}（0≤a₁＜a₂…＜a_n，n≥2）具有性质P；对任意的  i，j（1≤i≤j≤n），a_i+a_j与a_j-a_i两数中至少有一个属于A．
（1）分别判断数集{0，1，3，4}与{0，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；
（2）证明：a₁=0，且na_n=2（a₁+a₂+a+..+a_n）
（3）当n=5时若 a₂=2，求集合A．

Answer 1

分析 （1）利用a_i+a_j与a_j-a_i两数中至少有一个属于A．即可判断出结论．
（2）令j=n，i＞1，由“a_i+a_j与a_j-a_i两数中至少有一个属于A”，可得a_n-a_i属于A．令i=n-1，那么a_n-a_n-1是集合A中某项，a₁不行，是0，a₂可以．同理可得：令i=n-1可以得到a_n=a₂+a_n-1，令i=n-2、n-3，…，2，可以得到a_n=a_i+a_n+1-i，倒序相加即可得到．
（3）当 n=5时，取j=5，当i≥2时，a_i+a₅＞a₅，由A具有性质P，a₅-a_i∈A，又i=1时，a₅-a₁∈A，可得a₅-a_i∈A，i=1，2，3，4，5，a₅-a₁＞a₅-a₂＞a₅-a₃＞a₅-a₄＞a₅-a₅=0，则a₅-a₁=a₅，a₅-a₂=a₄，a₅-a₃=a₃，又a₃+a₄＞a₂+a₄=a₅，可得a₃+a₄∉A，则a₄-a₃∈A，则有a₄-a₃=a₂=a₂-a₁．可得a₁，a₂，a₃，a₄，a₅是首项为0，公差为a₂=2等差数列．

解答 解：（1）由于0+1，0+2，0+3，0+4，1+3，4-1，4-3，都属于数集{0，1，3，4}，
∴该数集具有性质P．
由于2+3与3-2均不属于数集{0，2，3，6}，∴该数集不具有性质P．
（2）证明：令j=n，i＞1，则∵“a_i+a_j与a_j-a_i两数中至少有一个属于A”，
∴a_i+a_j不属于A，∴a_n-a_i属于A．
令i=n-1，那么a_n-a_n-1是集合A中某项，a₁不行，是0，a₂可以．
如果是a₃或者a₄，那么可知a_n-a₃=a_n-1，那么a_n-a₂＞a_n-a₃=a_n-1，只能是等于a_n了，矛盾．
所以令i=n-1可以得到a_n=a₂+a_n-1，
同理，令i=n-2、n-3，…，2，可以得到a_n=a_i+a_n+1-i，
∴倒序相加即可得到a₁+a₂+a₃+…+a_n=$\frac{n}{2}$a_n．
即na_n=2（a₁+a₂+a+..+a_n）．
（3）当 n=5时，取j=5，当i≥2时，a_i+a₅＞a₅，
由A具有性质P，a₅-a_i∈A，又i=1时，a₅-a₁∈A，
∴a₅-a_i∈A，i=1，2，3，4，5
∵0=a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，∴a₅-a₁＞a₅-a₂＞a₅-a₃＞a₅-a₄＞a₅-a₅=0，
则a₅-a₁=a₅，a₅-a₂=a₄，a₅-a₃=a₃，
从而可得a₂+a₄=a₅，a₅=2a₃，故a₂+a₄=2a₃，即0＜a₄-a₃=a₃-a₂＜a₃，
又∵a₃+a₄＞a₂+a₄=a₅，∴a₃+a₄∉A，则a₄-a₃∈A，则有a₄-a₃=a₂=a₂-a₁．
又∵a₅-a₄=a₂=a₂-a₁，∴a₅-a₄=a₄-a₃=a₃-a₂=a₂-a₁=a₂，
即a₁，a₂，a₃，a₄，a₅是首项为0，公差为a₂=2等差数列，
∴A={0，2，4，6，8}．

点评 本题考查了等差数列的定义通项公式、新定义，考查了推理能力与计算能力，属于难题．