Question

12．数列{a_n}的前n项a₁，a₂，…，a_n（n∈N*）组成集合A_n={a₁，a₂，…，a_n}，从集合A_n中任取k（k=1，2，3，…，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为T_k（若只取一个数，规定乘积为此数本身），例如：对于数列{2n-1}，当n=1时，A₁={1}，T₁=1；n=2时，A₂={1，3}，T₁=1+3，T₂=1•3；
（1）若集合A_n={1，3，5，…，2n-1}，求当n=3时，T₁，T₂，T₃的值；
（2）若集合A_n={1，3，7，…，2ⁿ-1}，证明：n=k时集合A_k的T_m与n=k+1时集合A_k+1的T_m（为了以示区别，用T_m′表示）有关系式T_m′=（2^k+1-1）T_m-1+T_m，其中m，k∈N*，2≤m≤k；
（3）对于（2）中集合A_n．定义S_n=T₁+T₂+…+T_n，求S_n（用n表示）．

Answer 1

分析 （1）当n=3时，A₃={1，3，7}，由定义可得：T₁，T₂，T₃的值．
（2）当n=k+1时，集合A_k+1有k+1个元素，比n=k时的集合A_k多了一个元素：a_k+1=2^k+1-1．对应的${T}_{m}^{′}$包含两个部分：（i）若${T}_{m}^{′}$中不含a_k+1，则${T}_{m}^{′}$中的任何一项恰好为n=k时集合A_k的对应的T_m中的一项．（ii）若${T}_{m}^{′}$中含a_k+1的任何一项，除了a_k+1，其余的m-1个数均来自集合A_k，这m-1个数的乘积恰好为集合A_k所对应的T_m-1中的一项．即可证明．
（3）由S₁=1=2¹-1=1，S₂=7=2³-1，S₃=63=2⁶-1，猜想 S_n=${2}^{\frac{n（n+1）}{2}}$-1．下面利用数学归纳法证明即可．

解答 （1）解：当n=3时，A₃={1，3，7}，
T₁=1+3+7=11，T₂=1×3+1×7+3×7=31，T₃=1×3×7=21．
（2）证明：当n=k+1时，集合A_k+1有k+1个元素，比n=k时的集合A_k多了一个元素：a_k+1=2^k+1-1．∴对应的${T}_{m}^{′}$包含两个部分：（i）若${T}_{m}^{′}$中不含a_k+1，则${T}_{m}^{′}$中的任何一项恰好为n=k时集合A_k的对应的T_m中的一项．
（ii）若${T}_{m}^{′}$中含a_k+1的任何一项，除了a_k+1，其余的m-1个数均来自集合A_k，这m-1个数的乘积恰好为集合A_k所对应的T_m-1中的一项．
∴有关系式T_m′=（2^k+1-1）T_m-1+T_m，其中m，k∈N*，2≤m≤k．
（3）解：由S₁=1=2¹-1=1，S₂=7=2³-1，S₃=63=2⁶-1，
猜想 S_n=${2}^{\frac{n（n+1）}{2}}$-1．下面证明：
（i）易知n=1时成立．
（ii）假设n=k时，S_n=S_k=${2}^{\frac{k（k+1）}{2}}$-1，
则n=k+1时，S_k+1=T₁+T₂+T₃+…+T_k+1
=[T₁′+（2^k+1-1）]+[T₂′+（2^k+1-1）T₁′]+[T₃′+（2^k+1-1）T₂′]+…+[T_k′+（2^k+1-1）]
（其中T_i′，i=1，2，…，k，为n=k时可能的k个数的乘积的和为T_k），
=（ T₁′+T₂′+T₃′+…+T_k′）+（2^k+1-1）+（2^k+1-1）（ T₁′+T₂′+T₃′+…+T_k′）
=S_k+（2^k+1-1）+（2^k+1-1）S_k =${2}^{k+1}（{2}^{\frac{k（k+1）}{2}}-1）$+（2^k+1-1）
=${2}^{\frac{（k+1）（k+2）}{2}}$-1，
即n=k+1时，S_k+1═${2}^{\frac{（k+1）（k+2）}{2}}$-1也成立，
综合（i）（ii）知对n∈N^*，S_n=${2}^{\frac{n（n+1）}{2}}$-1成立．
∴S_n=${2}^{\frac{n（n+1）}{2}}$-1．

点评 本题考查了集合的性质、数列通项公式与求和公式、数学归纳法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．