Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，短轴长度为4；
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设A，B为该椭圆上的两个不同点，C（2，0），且∠ACB=90°，当△ABC的周长最大时，求直线AB的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用的离心率为

2

2

，短轴长度为4，建立方程组，求出几何量，即可求椭圆的标准方程；
（2）确定周长的最大值为8

2

，当线段AB经过左焦点C'（-2，0）时取等号．假设直线AB的方程式为：x=my-2与椭圆方程联立，利用∠ACB=90°，可得

CA

•

CB

=0，结合韦达定理，即可求直线AB的方程．

解答： 解：（1）由已知可得：

c a = 2 2 2b=4 a2=b2+c2

，解出

a=2 2 b=2 c=2

所以椭圆的方程为：

x2

8

+

y2

4

=1
（2）易知C（2，0）恰好为椭圆的右焦点，设该椭圆的左焦点为C'（-2，0），
设△ABC的周长为l，则：l=AB+AC+BC≤(AC′+BC′)+AC+BC=(AC+AC′)+(BC+BC′)=4a=8

2

所以周长的最大值为8

2

，当线段AB经过左焦点C'（-2，0）时取等号．
由于直线AB的斜率不能为0，否则A，B，C三点共线，与∠ACB=90°相矛盾．
所以可假设直线AB的方程式为：x=my-2
将该直线和椭圆联立化简得：（m²+2）y²-4my-4=0
假设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韦达定理知：y1+y2=

4m

m2+2

，y1y2=

-4

m2+2

由已知∠ACB=90°，所以：

CA

•

CB

=0即：（x₁-2，y₁）•（x₂-2，y₂）=0
即：（x₁-2）•（x₂-2）+y₁y₂=0
即：（my₁-4）•（my₂-4）+y₁y₂=0
即：（m²+1）y₁y₂-4m（y₁+y₂）+16=0
将韦达定理代入上式得：(m2+1)•

-4

m2+2

-4m•

4m

m2+2

+16=0，解出：m=±

7

所以直线AB的方程为：x=±

7

y-2

点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．