Question

已知向量a＝(sinα，－2)，b＝(1，cosα)，其中α∈.

(1)向量a，b能平行吗？请说明理由．

(2)若a⊥b，求sinα和cosα的值．

(3)在(2)的条件下，若cosβ＝，β∈，求α＋β的值．

Answer 1

解　(1)向量a，b不能平行．若平行，需sinαcosα＋2＝0，

即sin2α＝－4，而－4∉[－1,1]，∴向量a，b不能平行．

(2)∵a⊥b，∴a·b＝sinα－2cosα＝0，

即sinα＝2cosα，又∵sin²α＋cos²α＝1，

∴4cos²α＋cos²α＝1，即cos²α＝，∴sin²α＝，

又α∈，∴sinα＝，cosα＝.

(3)由(2)知sinα＝，cosα＝，cosβ＝，β∈，得sinβ＝.

则cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝－.又α＋β∈(0，π)，则α＋β＝.