Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁＝a，a_n＋1＝S_n＋3ⁿ，n∈N^*.

(1)记b_n＝S_n－3ⁿ，求数列{b_n}的通项公式；

(2)若a_n＋1≥a_n，n∈N^*，求a的取值范围．

Answer 1

解　(1)依题意，S_n＋1－S_n＝a_n＋1＝S_n＋3ⁿ，即S_n＋1＝2S_n＋3ⁿ，

由此得S_n＋1－3^n＋1＝2(S_n－3ⁿ)，即b_n＋1＝2b_n，

∴数列{b_n}是首项b₁＝a－3，公比为2的等比数列．

因此，所求通项公式为b_n＝S_n－3ⁿ＝(a－3)×2^n－1，n∈N^*.

(2)由(1)知，S_n＝3ⁿ＋(a－3)×2^n－1，n∈N^*，

于是，当n≥2时，

a_n＝S_n－S_n－1＝3ⁿ＋(a－3)×2^n－1－3^n－1－(a－3)×2^n－2＝2×3^n－1＋(a－3)2^n－2，

a_n＋1－a_n＝4×3^n－1＋(a－3)×2^n－2

又a₂＝a₁＋3>a₁，

综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞)．