Question

【题目】已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）－，x∈R.

（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；

（2）设>0，若函数g（x）=f（x+）为奇函数，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）T=，[－+k，+k]（k∈Z）.（2）min=.

【解析】分析：（1）整理函数的解析式可得f（x）=sin（2x+），则函数的最小正周期为T=，单调递增区间为[－+k，+k]（k∈Z）.

（2）由题意可知g（x）=f（x+）=sin[2x+（2+）].结合奇函数的定义即可求得的最小值.

详解：（1）f（x）=cosx（sinx+cosx）－=sin（2x+），

T=，f（x）单调递增区间为[－+k，+k]（k∈Z）.

（2）f（x）=cosx（sinx+cosx）－=sin（2x+），

g（x）=f（x+）=sin[2（x+）+]=sin[2x+（2+）].

由函数g（x）=f（x+）为奇函数，所以g（－x）=－g（x），

即sin[－2x+（2+）]=－sin[2x+（2+）]，

展开整理得cos 2x sin（2+）=0 对x∈R都成立，

所以sin（2+）=0，

即2+=k，k∈Z，且>0，

所以min=.