Question

【题目】已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a、b、c成等比数列，c= bsinC﹣ccosB．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若b=2 ，求△ABC的周长和面积．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）根据题意，若c= bsinC﹣ccosB， 由正弦定理可得sinC= sinBsinC﹣sinCcosB，
又由sinC≠0，则有1= sinC﹣cosB，
即1=2sin（B﹣ ），
则有B﹣ = 或B﹣ = ，即B= 或π（舍）
故B= ；
（Ⅱ）已知b=2 ，则b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=12，
又由a、b、c成等比数列，即b2=ac，
则有12=（a+c）2﹣36，解可得a+c=4 ，
所以△ABC的周长l=a+b+c=2 +4 =6 ，
面积S△ABC= acsinB= b2sinB=3
【解析】（Ⅰ）根据题意，由正弦定理可得sinC= sinBsinC﹣sinCcosB，进而变形可得1= sinC﹣cosB，由正弦的和差公式可得1=2sin（B﹣ ），即可得B﹣ 的值，计算可得B的值，即可得答案；（Ⅱ）由余弦定理可得（a+c）2﹣3ac=12，又由a、b、c成等比数列，进而可以变形为12=（a+c）2﹣36，解可得a+c=4 ，进而计算可得△ABC的周长l=a+b+c，由面积公式S△ABC= acsinB= b2sinB计算可得△ABC的面积．
【考点精析】认真审题，首先需要了解正弦定理的定义(正弦定理:)．