【题目】已知椭圆 的离心率为
,且过点
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)设直线 与圆
相切于点
,且
与椭圆
只有一个公共点
.
①求证: ;
②当 为何值时,
取得最大值?并求出最大值.
【答案】解:(I)椭圆E的方程为
(Ⅱ)①因为直线 与圆C:
相切于A,得
,
即 ①
又因为 与椭圆E只有一个公共点B ,
由 得
,且此方程有唯一解.
则 即
②由①②,得
②设 ,由
得
由韦达定理,
∵ 点在椭圆上,∴
∴
在直角三角形OAB中,
∴
【解析】(1)根据椭圆的性质得到,
,再将点(
,2)代入椭圆方程,解方程组即可得到。
(2)①根据直线与圆的位置关系,利用点到直线的距离公式可以得到t,k,R的等量关系;再根据直线与椭圆的交点为一个,联立方程,可得=0;结合两个等式,消去t2即可得到。
②因为是直角三角形,故根据勾股定理可得
,而OA长为R,故要将B点坐标用R表示出来,代入等式即可得到AB的长度。
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【题目】潮州统计局就某地居民的月收入调查了人,并根据所得数据画了样本的频率分
布直方图(每个分组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示收入在)。
(1)求居民月收入在的频率;
(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数;
(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系,必须按月收入再从这人中分层抽样方法抽出
人作进一步分析,则月收入在
的这段应抽多少人?
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【题目】已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a、b、c成等比数列,c= bsinC﹣ccosB.
(Ⅰ)求B的大小;
(Ⅱ)若b=2 ,求△ABC的周长和面积.
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【题目】已知以点为圆心的圆过点
和
,线段
的垂直平分线交圆
于点
、
,且
,
(1)求直线的方程; (2)求圆
的方程。
(3)设点在圆
上,试探究使
的面积为 8 的点
共有几个?证明你的结论
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【题目】如图,是东西方向的公路北侧的边缘线,某公司准备在
上的一点
的正北方向的
处建一仓库,并在公路同侧建造一个正方形无顶中转站
(其中边
在
上),现从仓库
向
和中转站分别修两条道路
,
,已知
,且
,设
,
.
(1)求关于
的函数解析式;
(2)如果中转站四周围墙(即正方形周长)造价为万元
,两条道路造价为
万元
,问:
取何值时,该公司建中转围墙和两条道路总造价
最低?
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【题目】已知椭圆C: +
=1(a>b>0)的离心率为
,点B是椭圆C的上顶点,点Q在椭圆C上(异于B点).
(Ⅰ)若椭圆V过点(﹣ ,
),求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若直线l:y=kx+b与椭圆C交于B、P两点,若以PQ为直径的圆过点B,证明:存在k∈R, =
.
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【题目】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中提到了一种名为“刍甍”的五面体(如图)面 为矩形,棱
.若此几何体中,
,
和
都是边长为
的等边三角形,则此几何体的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知椭圆 的离心率为
,且过点
.
(1)求椭圆 的方程;
(2)设不过原点 的直线
与椭圆
交于
两点,直线
的斜率分别为
,满足
,试问:当
变化时,
是否为定值?若是,求出此定值,并证明你的结论;若不是,请说明理由.
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