【题目】已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,点B是椭圆C的上顶点,点Q在椭圆C上(异于B点).
(Ⅰ)若椭圆V过点(﹣ , ),求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若直线l:y=kx+b与椭圆C交于B、P两点,若以PQ为直径的圆过点B,证明:存在k∈R, = .
【答案】解:(Ⅰ)椭圆的离心率e= = = ,则a2=2b2 ,
将点(﹣ , )代入椭圆方程 ,解得:a2=4,b2=2,
∴椭圆的标准方程为: ,
(Ⅱ)由题意的对称性可知:设存在存在k>0,使得 = ,
由a2=2b2 , 椭圆方程为: ,
将直线方程代入椭圆方程,整理得:(1+2k2)x2+4kbx=0,
解得:xP=﹣ ,则丨BP丨= × ,
由BP⊥BQ,则丨BQ丨= ×丨 丨= ,
由 = .,则2 × = ,
整理得:2k3﹣2k2+4k﹣1=0,
设f(x)=2k3﹣2k2+4k﹣1,由f( )<0,f( )>0,
∴函数f(x)存在零点,
∴存在k∈R, =
【解析】(Ⅰ)由椭圆的离心率公式求得a和b的关系,将(﹣ , )代入椭圆方程,即可求得a和b的值,求得椭圆方程;(Ⅱ)将直线方程代入椭圆方程,求得P的横坐标,求得丨BP丨,利用直线垂直的斜率关系求得丨BQ丨,由 = ,根据函数零点的判断即可存在k∈R, = .
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【题目】某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动,随机对该市15~65岁的人群抽样了 人,回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示.
(1)分别求出 的值;
(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人,则第2,3,4组每组应各抽取多少人?
(3)在(2)的前提下,电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖,求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.
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【题目】已知椭圆 的离心率为 ,且过点
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)设直线 与圆 相切于点 ,且 与椭圆 只有一个公共点 .
①求证: ;
②当 为何值时, 取得最大值?并求出最大值.
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【题目】已知函数f(x)=lnx﹣ax+ ,其中a>0.
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)证明:(1+ )(1+ )(1+ )…(1+ )<e (n∈N* , n≥2).
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【题目】(普通班)学校食堂定期从某粮店以每吨 元的价格买大米,每次购进大米需支付运输劳务费 元,已知食堂每天需要大米 吨,贮存大米的费用为每吨每天 元,假定食堂每次均在用完大米的当天购买.
(1)该食堂每多少天购买一次大米,能使平均每天所支付的费用最少?
(2)粮店提出价格优惠条件:一次购买量不少于 吨时,大米价格可享受九五折优惠(即是原价的 ),问食堂可否接受此优惠条件?请说明理由.
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【题目】某工厂生产不同规格的一种产品,根据检测标准,其合格产品的质量 与尺寸 之间满足关系式 为大于 的常数),现随机抽取6件合格产品,测得数据如下:
对数据作了处理,相关统计量的值如下表:
(1)根据所给数据,求 关于 的回归方程(提示:由已知, 是 的线性关系);
(2)按照某项指标测定,当产品质量与尺寸的比在区间 内时为优等品,现从抽取的6件合格产品再任选3件,求恰好取得两件优等品的概率;
(附:对于一组数据 ,其回归直线 的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为 )
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【题目】如图,江的两岸可近似地看出两条平行的直线,江岸的一侧有, 两个蔬菜基地,江岸的另一侧点处有一个超市.已知、、中任意两点间的距离为千米,超市欲在之间建一个运输中转站, , 两处的蔬菜运抵处后,再统一经过货轮运抵处,由于, 两处蔬菜的差异,这两处的运输费用也不同.如果从处出发的运输费为每千米元.从处出发的运输费为每千米元,货轮的运输费为每千米元.
(1)设,试将运输总费用(单位:元)表示为的函数,并写出自变量的取值范围;
(2)问中转站建在何处时,运输总费用最小?并求出最小值.
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