Question

【题目】如图所示，三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，D是线段AB的中点，DE∩PB=E，且DE⊥AB，若∠EDC=120°，PA= ，PB= ，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为 ．

Answer 1

【答案】13π
【解析】解：由题意，PA2+PB2=AB2 ， 因为 ，∴AD⊥面DEC， ∵ADPAB，ADABC，∴面APB⊥面DEC，面ABC⊥面DEC，
在CD上取点O1 ， 使O1为等边三角形ABC的中心，
∵D为△PAB斜边中点，∴在△DEC中，过D作直线与DE垂直，过O1作直线与DC垂直，两条垂线交于点O，则O为球心．
∵∠EDC=90°，∴ ，
又∵ ，∴OO1= ，三棱锥P﹣ABC的外接球的半径R= ，
三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为4πR2=13π，
所以答案是：13π．

【考点精析】利用球内接多面体对题目进行判断即可得到答案，需要熟知球的内接正方体的对角线等于球直径;长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长．