Question

已知F₁（﹣2，0），F₂（2，0），点P满足||PF₁|﹣|PF₂||=2，记点P的轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程；
（2）若过点F₂的直线l交轨迹E于P、Q两不同点．设点M（m，0），问：是否存在实数m，使得直线 l 绕点F₂ 无论怎样转动，都有=0成立？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点P满足||PF₁|﹣|PF₂||=2，
∴点P的轨迹是以F₁，F₂为焦点的双曲线．
∵F₂（﹣2，0），F₂（2，0），∴c=2
∵a=1，∴b²=c²﹣a²=3
∴轨迹方程为；
（2）假设存在点M（m，0），使得无论怎样转动，都有=0成立
当直线l的斜率存在时，
设直线方程为y=k（x﹣2），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
与双曲线方程联立消y得（k²﹣3）x²﹣4k²x+4k²+3=0，
∴
解得k²＞3．
∵=（x₁﹣m）（x₂﹣m）+k²（x₁﹣2）（x₂﹣2）
                =（k²+1）x₁x₂﹣（2k²+m）（x₁+x₂）+m²+4k²       
                =
                =．
∵，
∴3（1﹣m²）+k²（m²﹣4m﹣5）=0对任意的k2＞3恒成立，
∴，
解得m=﹣1．
∴当m=﹣1时，．
当直线l的斜率不存在时，由P（2，3），Q（2，﹣3）及M（﹣1，0）知结论也成立，
综上，当m=﹣1时，．