Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n-2a_n-34，求证：{a_n-1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：等比关系的确定,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：根据数列的递推关系，利用作差法构造等比数列即可得到结论．

解答： 解：∵S_n=n-2a_n-34，
∴当n≥2时，S_n-1=n-1-2a_n-1-34，
两式相减得S_n-S_n-1=n-2a_n-34-[（n-1）-2a_n-1-34]，
即a_n=1-2a_n+2a_n-1，
则3a_n=2a_n-1+1，
即3a_n-3=2a_n-1+1-3═2a_n-1-2，
则3（a_n-1）=2（a_n-1-1），
即

an-1

an-1-1

=

2

3

，
故数列{a_n-1}是等比数列，公比q=

2

3

，
当n=1时，S₁=1-2a₁-34，
即3a₁=-33，解得a₁=-11，
故首项为a₁-1=-11-1=-12，
则a_n-1=-12•（

2

3

）^n-1，
即a_n=1-12•（

2

3

）^n-1．

点评：本题主要考查等比数列的证明以及数列通项公式的区间，利用作差法以及构造法是解决本题的关键．