Question

已知[x]表示不超过x的最大整数，例如[-1.5]=-2，[1.2]=1．设函数f（x）=[x[x]]，当x∈[0，n），（n∈N^*）时，函数f（x）的值域为集合A，则A中的元素个数为

 

．

Answer 1

考点：元素与集合关系的判断

专题：集合

分析：根据[x]的定义，分别进行讨论即可得到结论．

解答： 解：根据题意，可得：
[0，n）=[0，1）∪[1，2）∪[2，3）∪…[n-1，n），
当x∈[0，1），[x[x]]=[x•0]=0，只有1个，
当x∈[1，2），[x[x]]=[x]=1，只有1个，
当x∈[2，3），[x[x]]=[2x]∈{4，5}，有2个，
当x∈[3，4），[x[x]]=[3x]∈{9，10，11}，有3个，
…
当x∈[n-1，n）时，
[x[x]]=[（n-1）x]∈{（n-1）²，（n-1）²+1，（n-1）²+2，…，n（n-1）-1}，
共有n（n-1）-（n-1）²=n-1个，
∴所有A中的元素个数为1+1+2+3+4+…+（n-1）=

1

2

（n²-n+2），
故答案为：

1

2

（n²-n+2）．

点评：本题考查与集合有关的新定义题，根据条件分别求出对应范围的个数是解决本题的关键，综合性较强，属中档题．