Question

如图，CM，CN为某公园景观湖胖的两条木栈道，∠MCN=120°，现拟在两条木栈道的A，B处设置观景台，记BC=a，AC=b，AB=c（单位：百米）
（1）若a，b，c成等差数列，且公差为4，求b的值；
（2）已知AB=12，记∠ABC=θ，试用θ表示观景路线A-C-B的长，并求观景路线A-C-B长的最大值．

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：应用题,解三角形

分析：（1）利用a，b，c成等差数列，且公差为4，结合余弦定理，即可求b的值；
（2）利用正弦定理，求出AC，BC，再化简，即可求观景路线A-C-B长的最大值．

解答： 解：（1）∵a，b，c成等差数列，且公差为4，∴a=b-4，c=b+4，
∵∠MCN=120°，
∴（b+4）²=（b-4）²+b-2b（b-4）cos120°，
∴b=20；
（2）由题意，

AC

sinθ

=

BC

sin(60°-θ)

=

12

sin120°

，
∴AC=8

3

sinθ，BC=8

3

sin（60°-θ），
∴观景路线A-C-B的长y=12+8

3

sinθ+8

3

sin（60°-θ）=12+8

3

sin（60°+θ）
∴θ=30°时，观景路线A-C-B长的最大值为12+8

3

．

点评：本题考查余弦定理、正弦定理的运用，考查三角函数知识，正确运用正弦、余弦定理是关键．