Question

设函数f（x）=x²+bx+c，若函数y=|f（x）|在区间[-1，1]上的最大值是M，求证：M≥

1

2

．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：把函数|f（x）|=g（x）配方，然后分|b|＞2时，|b|≤2时，由函数y=|f（x）|的单调性求出其最大值，又g（b）=|b²+c|，再分当-2≤b≤0时和0＜b≤2时，求出最大值M，经比较可知对任意的b、c都有M≥

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2

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解答： 解：设|f（x）|=g（x），
当|b|≤2时，函数y=g（x）的对称轴x=-

b

2

位于区间[-1，1]之内，
此时M=max{g（-1），g（1），g（b）}，
又g（b）=|2b²+c|，
①当-2≤b≤0时，有f（1）≤f（-1）≤f（b），
则M=max{g（b），g（1）}≥

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[g（b）+g（1）]≥

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2

|f（b）-f（1）|=

1

2

（b-

1

2

）²≥

1

2

；
②当0＜b≤2时，有f（-1）≤f（1）≤f（b）．
则M=max{g（b），g（-1）}≥

1

2

（g（b）+g（-1））≥

1

2

|f（b）-f（-1）|=

1

2

（b-

1

2

）²≥

1

2

；
综上可知，对任意的b、c都有M≥

1

2

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点评：本题考查二次函数及其应用，以及利用函数单调性求函数的最值，考查了分类讨论．