Question

已知函数f（x）=|2x+4|+|x-3|-9．
（1）画出函数y=f（x）的图象；
（2）若当x∈[-4，3]时不等式f（x）＜2a+1恒成立．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数图象的作法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）先化简函数的解析式，即可画出函数的图象．
（2）由题意可得f（x）_max＜2a+1，数形结合求得f（x）_max=2，从而求得a的范围．

解答： 解：（1）函数f（x）=|2x+4|+|x-3|-9=

-3x-10，x＜-3 x-2，-3≤x≤3 3x-8，x＞3

，
如图所示：
（2）当x∈[-4，3]时不等式f（x）＜2a+1恒成立，可得f（x）_max＜2a+1．
当x=-4时，f（x）=2；当x=3时，f（x）=1；
再结合图象可可得f（x）_max＜2a+1，求得a＞

1

2

．

点评：本题主要考查带有绝对值的函数，函数的恒成立问题，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．