Question

函数f（x）、g（x）的图象在区间[a，b]上连续不断，且f′（x）•g（x）＞f（x）•g′（x），g（x）＞0，则对任意的x∈（a，b）都有（　　）

• A、f（x）•g（x）＞f（a）•g（b）
• B、f（x）•g（a）＞f（a）•g（x）
• C、f（x）•g（x）＞f（b）•g（b）
• D、f（x）•g（b）＞f（b）•g（x）

Answer 1

考点：导数的运算,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：根据题意构造函数h（x）=

f(x)

g(x)

，求出h（x）的导数，由条件判断出h′（x）的符号，得到函数在区间上的单调性，由单调性的定义和选项列出不等式，再化简即可．

解答： 解：由题意设h（x）=

f(x)

g(x)

，g（x）＞0，所以h′(x)=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g2(x)

）在，
因为f′（x）•g（x）＞f（x）•g′（x），所以h′(x)=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g2(x)

＞0，
则函数h（x）在[a，b]上单调递增，
因为b＞a，所以h（b）＞h（x）或h（x）＞h（a），即

f(b)

g(b)

＞

f(x)

g(x)

或

f(x)

g(x)

＞

f(a)

g(a)

，
所以f（b）•g（x）＞f（x）•g（b）或f（x）•g（a）＞f（a）•g（x），
故选：B．

点评：本题考查导数与函数的单调性的关系，函数单调性的定义的应用，考查构造函数法，构造恰当的函数是解题的关键，属于中档题．