Question

设函数f（x）=|x+2|+|2x-4|，g（x）=a+x．
（Ⅰ）当a=3时，解不等式f（x）≥g（x）；
（Ⅱ）画出函数y=f（x）的图象，根据图象求使f（x）≥g（x）恒成立的实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,指数函数的图像变换

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）当a=3时，化简函数f（x）的解析式，分类讨论求得不等式f（x）≥g（x）的解集．
（2）画出函数f（x）的图象，数形结合求得f（x）的最小值为f（2）=4，由题意可得f（2）≥g（2），由此求得a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）当a=3时，函数f（x）=|x+2|+|2x-4|=

-3x+2，x＜-2 -x+6，-2≤x≤2 3x-2，x＞2

，
不等式即f（x）≥x+3．
∴

x＜-2 -3x+2≥x+3

 ①或

-2≤x≤2 -x+6≥x+3

 ②或

x＞2 3x-2≥x+3

 ③．
解①求得x＜-2，解②求得-2≤x≤

3

2

，解③求得x≥

5

2

，
综上可得，不等式的解集为（-∞，

3

2

]∪[

5

2

，+∞）．
（2）根据f（x）的解析式，画出函数f（x）的图象，如图所示：
数形结合求得f（x）的最小值为f（2）=4，由于g（x）=a+x结合由题意可得f（2）≥g（2），即4≥a+2，求得a≤2．

点评：本题主要考查带有绝对值的函数，函数的恒成立问题，绝对值不等式的解法，体现了转化、数形结合、分类讨论的数学思想，属于中档题．