Question

已知a∈R，函数f（x）=x³（x-a），求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值h（a）．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：计算题,导数的综合应用

分析：求导数，分类讨论，利用函数的单调性，即可求出函数f（x）在区间[1，2]上的最小值h（a）．

解答： 解：∵f（x）=x³（x-a），
∴f′（x）=4x³-3ax²=x²（4x-3a），

3

4

a＜1，即a＜

4

3

时，函数在[1，2]上单调递增，h（a）=f（1）=1-a；
1≤

3

4

a≤2，即

4

3

≤a≤

8

3

时，函数在[1，

3

4

a]上单调递减，在[

3

4

a，2]上单调递增，h（a）=f（

3

4

a）=0；

3

4

a＞2，即a＞

8

3

时，函数在[1，2]上单调递减，h（a）=f（2）=8（2-a），
∴函数f（x）在区间[1，2]上的最小值h（a）=

1-a，a＜ 4 3 0， 4 3 ≤a≤ 8 3 8(2-a)，a＞ 8 3

．

点评：本题考查函数的最值，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．