Question

7．在平面直角坐标系xOy内，F为抛物线y²=4x的焦点，A，B是该抛物线上两点，且满足$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4，|$\overrightarrow{FA}$|-|$\overrightarrow{FB}$|=4$\sqrt{3}$，则$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$的值是（　　）

• A． -10
• B． -12
• C． -11
• D． -13

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由题意可得AB与x轴不垂直，设直线AB的方程为：y=kx+b．（k≠0）与抛物线方程联立可得k²x²+（2kb-4）x+b²=0，△＞0化为1-kb＞0．利用根与系数的关系可得：y₁y₂，x₁-x₂．由于$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4，|$\overrightarrow{FA}$|-|$\overrightarrow{FB}$|=4$\sqrt{3}$，可得x₁x₂+y₁y₂=-4，（x₁+1）-（x₂+1）=4$\sqrt{3}$．代入化简即可解出k，b．$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂，化简整理即可得出．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由题意可得AB与x轴不垂直，设直线AB的方程为：y=kx+b．（k≠0）
联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，化为k²x²+（2kb-4）x+b²=0，
△＞0化为1-kb＞0．
∴x₁+x₂=$\frac{4-2kb}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{b}^{2}}{{k}^{2}}$．
∴y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=k²x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²，
x₁-x₂=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{1-kb}}{{k}^{2}}$．
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4，|$\overrightarrow{FA}$|-|$\overrightarrow{FB}$|=4$\sqrt{3}$，
∴x₁x₂+y₁y₂=-4，（x₁+1）-（x₂+1）=4$\sqrt{3}$．
∴（k²+1）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²=$\frac{（{k}^{2}+1）{b}^{2}}{{k}^{2}}$+$\frac{kb（4-2kb）}{{k}^{2}}$+b²=-4，
$\frac{4\sqrt{1-kb}}{{k}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
分别化为：b+2k=0，1-kb=3k⁴．
联立解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$．
F（1，0）．
则$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）
=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂
=-4+1-（x₁+x₂）
取k=1，b=-2．
x₁+x₂=8，
∴$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=-3-8=-11．
取k=-1，b=2，同理可得$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=-11．
故选：C．

点评 本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．