Question

【题目】已知函数.

（1）函数，讨论的单调性；

（2）曲线在点处的切线为，是否存在这样的点使得直线与曲线也相切，若存在，判断满足条件的点的个数，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）存在，有且只有两个

【解析】

（1）利用导数的运算法则得出，分，，，讨论单调性，分别解出与的区间即可得出单调区间．

（2）先求直线为函数的图象上一点处的切线方程，再设直线与的图象也相切，切点为，进而可得，再判断方程在区间上有且只有两个实数根．

（1）因为：，

所以：.

所以：①当时：在上为减函数，在为增函数；

②当时：在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数；

③当时：在上为增函数；

④当时：在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数.

（2）设.

因为：，所以：.

所以直线的方程为：，即：①.

假设直线与的图象也相切，切点为：.

因为，所以.

所以直线的方程也可以写作为：.

又因为，即：.

所以直线的方程为：，即：②.

由①②有：，即：.

令，

所以.

令，得：，

所以在递减，在递增.

所以，

又因为当时，；当时，.

所以在有且只有两个实数根.

所以，存在这样的点使得直线与函数的图象也相切，这样的点有且只有两个.