Question

【题目】已知椭圆的两焦点为，，且椭圆上一点，满足，直线与椭圆交于、两点，与轴、轴分别交于点、，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）若，且，求的值；

（3）当△面积取得最大值，且点在椭圆上时，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）3（3）

【解析】

（1）根据椭圆定义焦点坐标计算基本量即可得解；

（2）根据已知条件结合弦长公式求得m，得出三点坐标，利用线段长度公式得解；

（3）联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示出三角形面积，根据基本不等式求最值，即可得到此时的值.

（1）由题意可得，∴椭圆方程为

（2）由题意得，此时直线方程为，将其代入椭圆方程整理可得

，其中

设，则

∴，由椭圆具有对称性，

∴不妨取，则，∴

（3）将直线方程代入椭圆方程整理可得，其中

，设，

则，

∴

原点到直线的距离，

∴，

当且仅当时等号成立，

又代入椭圆方程可得，

其中，，

∴整理得

再将代入，

整理得，

，

整理得，.