Question

【题目】已知椭圆与轴正半轴交于点，与轴交于、两点.

（1）求过、、三点的圆的方程；

（2）若为坐标原点，直线与椭圆和（1）中的圆分别相切于点和点（、不重合），求直线与直线的斜率之积.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出、、三点的坐标，求得圆心的坐标，进而求出圆的半径，由此可求得圆的方程；

（2）设直线的方程为（存在且），将直线的方程与椭圆的方程联立，由可得，由直线与圆相切可得出，进而可得出，求出直线与直线的斜率，进而可求得结果.

（1）由题意可得、、，则圆心在轴上，设点，

由，可得，解得，圆的半径为.

因此，圆E的方程为；

（2）由题意：可设的方程为（存在且），

与椭圆联立消去可得，

由直线与椭圆相切，可设切点为，由，

可得，解得，，

由圆与直线相切，即，可得.

因此由，可得，

直线的斜率为，直线的斜率，

综上：.