Question

【题目】已知椭圆C ：与圆相交于M，N，P，Q四点，四边形MNPQ为正方形，△PF1F2的周长为

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线l与椭圆C相交于A、B两点若直线AD与直线BD的斜率之积为，证明：直线恒过定点.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）根据四边形MNPQ为正方形，可得到关于的一个方程，由△PF1F2的周长为得到关于的另一个方程，联立方程，解方程组，即可得到椭圆C的方程.

（2）对直线l的斜率存在与否进行讨论，当斜率不存在时，结合条件容易排除，当斜率存在时，设出直线方程与椭圆方程联立，得到两根之和、两根之积，将条件直线AD与直线BD的斜率之积为转化为韦达定理的形式，代入化简即可证明结论.

解：（1）

如图所示，设点，

由题意四边形MNPQ为正方形，所以，即，

因为点在圆上，所以，

即，又点在椭圆上，

所以，即，

所以①，

又△PF1F2的周长为，

即②，

由①②解得，，

所以椭圆的方程为：.

（2）①当直线斜率不存在时，设：，，，

因为点在椭圆上，

所以，即，

所以不满足题意.

②当直线斜率存在时，设：，

，，联立，

整理得，

所以，，

则

，

将，代入上式化简得：

.

即，解得，，

所以直线恒过定点.