Question

【题目】已知为等差数列，各项为正的等比数列的前n项和为， ，且，，.在①；②；③这三个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答（如果选择多个条件解答，则按选择第一个解答计分）.

（1）求数列和的通项公式；

（2）求数列的前项和

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）分别选择条件①②③，结合等差、等比数列的通项公式，以及和的关系，即可求得数列和的通项公式；

（2）由（1）求得，结合等差、等比数列的前项和公式，利用错位相减，即可求解.

（1）若选①：，设等差数列的公差为，

由，，可得，解得，

所以，

又由，

当时，由，则有，即，

当时，，整理得，即，

所以是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以.

（2）由（1）知，则，

所以

，

所以.

（1）若选②：，设等差数列的公差为d，

由，，可得，解得，

所以，所以，

设等比数列的公比为，

因为，

所以，

又因为，所以，解得或（舍去），

所以.

（2）由（1）知，则，

所以

，

所以.

（1）若选③：，设等差数列的公差为，

由，，可得，解得，

所以，

因为，，

当，得，即，解得，所以.

（2）由（1）知，则，

所以

，

所以.