Question

设函数f（x）=lnx﹣ax²﹣bx．
（1）当a=b=时，求f（x）的最大值；
（2）令F（x）=f（x）+ax²+bx+（0＜x≤3），以其图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a=0，b=﹣1时，方程2mf（x）=x²有唯一实数解，求正数m的值．

Answer 1

解：（1）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞）
当时，，
．
令f''（x）=0，解得x=1．
当0＜x＜1时，f''（x）＞0，此时f（x）单调递增；
当x＞1时，f''（x）＜0，此时f（x）单调递减．
所以f（x）的极大值为，此即为最大值．
（2），
所以，，在x_0∈（0，3]上恒成立，
所以，x_0∈（0，3]
当x₀=1时，取得最大值．
所以a＝．
（3）因为方程2mf（x）=x²有唯一实数解，
所以x²﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一实数解．
设g（x）=x²﹣2mlnx﹣2mx，
则．
令g'（x）=0，得x²﹣mx﹣m．
因为m＞0，x＞0，所以（舍去），
，
当x∈（0，x₂）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，x₂）单调递减，
当x∈（x₂，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）单调递增．
当x=x₂时，g’（x₂）=0 ，g（x₂）取最小值g（x₂）．
因为g（x）=0有唯一解，所以g（x₂）=0．
则，即
所以2mlnx²+mx²﹣m=0，
因为m＞0，所以2lnx²+x²﹣1=0．
设函数h（x）=2lnx+x﹣1，
因为当x＞0时，h（x）是增函数，
所以h（x）=0至多有一解．
因为h（I）=0，所以方程的解为（X₂）=1，
即，
解得