Question

在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cosA=

1

3

．
（1）求tan2

A

2

+sin2

A

2

的值；
（2）若a=6，S△ABC=9

2

，求b的值．

Answer 1

分析：（1）根据三角函数的降幂公式与同角三角函数的关系，将原式化简为关于cosA的式子，再代入cosA的值即可得到答案．
（2）由S△ABC=9

2

利用三角形的面积公式，算出bc=27．根据a=6且cosA=

1

3

，利用余弦定理列式解出b²+c²=54，再将两式联解即可得出b的值．

解答：解：（1）根据题意，可得tan2

A

2

+sin2

A

2

=sin2

A

2

(

1

cos2 A 2

+1)=

1-cosA

2

(

2

1+cosA

+1)
∵cosA=

1

3

，
∴原式=

1- 1 3

2

(

2

1+ 1 3

+1)=

5

6

；
（2）∵S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

bc

1-cos2A

=9

2

，
∴

1

2

bc×

2 2

3

=9

2

，
解得bc=27．
又∵a=6，cosA=

1

3

，
∴根据侮定理，得a²=b²+c²-2bccosA，
即36=b²+c²-18，
化简得b²+c²=54．与bc=27联解可得b=c=

27

，
∴b=3

3

．

点评：本题给出三角形满足的条件，求三角函数式的值并求边b的值．着重考查了三角恒等变换公式、余弦定理与三角形的面积公式，考查了函数方程的数学思想，属于中档题．