Question

【题目】设为正整数，区间（其中，）同时满足下列两个条件：

①对任意，存在使得；

②对任意，存在，使得（其中）．

（Ⅰ）判断能否等于或；（结论不需要证明）．

（Ⅱ）求的最小值；

（Ⅲ）研究是否存在最大值，若存在，求出的最大值；若不在在，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）可以等于，但不能等于；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在最大值，为．

【解析】

（Ⅰ）根据题意可得出结论；

（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的结论得出可以等于，可得出区间的长度为，结合①得出，再由，，，满足条件①、②可得出的最小值；

（Ⅲ）利用反证法推导出，进而得出，由此得出，进而得出，再举例说明成立，由此可得出正整数的最大值.

（Ⅰ）可以等于，但不能等于；

（Ⅱ）记为区间的长度，则区间的长度为，的长度为．

由①，得．

又因为，，，显然满足条件①，②．

所以的最小值为；

（Ⅲ）的最大值存在，且为．

解答如下：（1）首先，证明．

由②，得、、、互不相同，且对于任意，．

不妨设．

如果，那么对于条件②，当时，不存在，使得．

这与题意不符，故.

如果，那么，

这与条件②中“存在，使得（其中、、、、、、）”矛盾，故．

所以，，，，则．

故．

若存在，这与条件②中“存在，使得”矛盾，

所以．

（2）给出存在的例子 ．

令，其中、、、，即、、、为等差数列，公差．

由，知，则易得，

所以、、、满足条件①．

又公差，

所以，．（注：

为区间的中点对应的数）

所以、、、满足条件②．

综合（1）（2）可知的最大值存在，且为．