Question

已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=a，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且

AE

AC

=

AF

AD

=λ(0＜λ＜1)．
（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A-CD-B的正切值；
（Ⅲ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由线面垂直得AB⊥CD，从而得到CD⊥平面ABC．由此推导出EF⊥平面ACD，从而能够证明不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC．
（Ⅱ）过点C作CZ∥AB，CZ⊥平面BCD，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz．利用向量法能求出二面角A-CD-B的正切值为

6

．
（Ⅲ）由BE⊥EF，当BE⊥AC时，BE⊥平面ACD，从而平面BEF⊥平面ACD，由此能求出当λ=

6

7

时，平面BEF⊥平面ACD．

解答： （Ⅰ）证明：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，
∵CD⊥BC，且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC．
又∵

AE

AC

=

AF

AD

=λ(0＜λ＜1)．
∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，
∴EF⊥平面ACD，EF?平面BEF，
∴不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC．
（Ⅱ）解：过点C作CZ∥AB，∵AB⊥平面BCD，
∴CZ⊥平面BCD，
又在△BCD中，∠BCD=90°，∴BC⊥CD，
如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz．
又在△BCD中，∠BCD=90°，设BC=CD=1，
∴BD=

2

．
又在Rt△ABD中，∠ADB=60°，∴AB=

6

，
则C（0，0，0），B（1，0，0），
A（1，0，

6

），D（0，1，0）．

CA

=(1，0，

6

)，

CD

=(0，1，0)，

CB

=(1，0，0)，
设平面ACD的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • CA =x+ 6 z=0 n • CD =y=0

，取z=1，得

n

=(-

6

，0，1)，
又平面BCD的法向量

m

=(0，0，1)，
设二面角A-CD-B的平面角为θ，
则cosθ=cos＜

m

，

n

＞=

1

7

，
∴tanθ=

6

．
∴二面角A-CD-B的正切值为

6

．
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知，BE⊥EF，
∴当BE⊥AC时，BE⊥平面ACD，从而平面BEF⊥平面ACD，
∵BC=CD=a，∠BCD=90°，∠ADB=60°，
∴BD=

2

a，AB=

2

atan60°=

6

a，
∴AC=

AB2+BC2

=

7

a，
∵△AEB∽△ABC，∴AB²=AE•AC，
∴AE=

6a2

7 a

=

6a

7

，∴λ=

AE

AC

=

6

7

，
∴当λ=

6

7

时，平面BEF⊥平面ACD．

点评：本题考查平面垂直的证明，考查二面角正切值的求法，考查使得平面垂直的实数值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．