Question

17．F₁、F₂是双曲线$\frac{x^2}{{4{a^{\;}}}}-\frac{y^2}{{{a^{\;}}}}=1$的两个焦点，P为双曲线上一点，$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，且△F₁PF₂的面积为1，则a的值是a=1或-$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 讨论a＞0，a＜0，运用双曲线的定义和向量垂直的条件，以及三角形的面积公式，结合勾股定理，解方程即可得到所求值．

解答 解：设P为双曲线右支上一点，
当a＞0时，由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=4$\sqrt{a}$，
$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，可得PF₁⊥PF₂，
△F₁PF₂的面积为1，可得$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|=1，
即有|PF₁|•|PF₂|=2，
由勾股定理可得，|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=20a，
即有（|PF₁|-|PF₂|）²+2|PF₁|•|PF₂|=16a+4=20a，
解得a=1；
当a＜0时，双曲线$\frac{x^2}{{4{a^{\;}}}}-\frac{y^2}{{{a^{\;}}}}=1$即为$\frac{{y}^{2}}{-a}$-$\frac{{x}^{2}}{-4a}$=1，
由双曲线的定义可得||PF₁|-|PF₂||=2$\sqrt{-a}$，
$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，可得PF₁⊥PF₂，
△F₁PF₂的面积为1，可得$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|=1，
即有|PF₁|•|PF₂|=2，
由勾股定理可得，|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=-20a，
即有（|PF₁|-|PF₂|）²+2|PF₁|•|PF₂|=-4a+4=-20a，
解得a=-$\frac{1}{4}$．
综上可得a=1或-$\frac{1}{4}$．
故答案为：a=1或-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及三角形的勾股定理和面积公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．