Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），向量$\overrightarrow{b}$=（x，-2），且$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）
（Ⅰ）求|3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|；
（Ⅱ）若向量$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$平行，求λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知结合$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）列式求得x值，进一步求出3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的坐标，代入模的计算公式求解；
（Ⅱ）求出向量$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的坐标，再由向量共线的坐标运算列式求解．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（x，-2），
∴$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$=（1-x，4），
由$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），得（1，2）•（1-x，4）=1-x+8=0，∴x=9．
则$3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=（12，4），
∴$|3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{1{2}^{2}+{4}^{2}}=4\sqrt{10}$；
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（9，-2），
∴$\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b}$=（1-9λ，2+2λ），$2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=（11，2）．
∵向量$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$平行，
∴（1-9λ）×2-11×（2+2λ）=0．
解得：$λ=-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法与数乘的坐标运算，是基础题．