Question

在等比数列{a_n}中
（1）已知a₃=20，a₆=160，求a_n
（2）已知S₃=

7

2

，S₆=

63

2

，求a_n
（3）已知a₁+a_n=66，a₂a_n-1=126，S_n=126，求n和q．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得

a1q2=20 a1q5=160

，由此能求出an=5×2n-1．
（2）由题意知q≠1，S3=

a1(1-q3)

1-q

=

7

2

，S6=

a1(1-q6)

1-q

=

63

2

，解得q=2，a1=

1

2

，由此能求出a_n．
（3）由已知条件得

a1+an=66 a2an-1=a1an=128

，由此能求出n和q．

解答： 解：（1）设等比数列的q，
∵a₃=20，a₆=160，∴

a1q2=20 a1q5=160

，（2分）
解得

a1=5 q=2

，（3分）
∴an=5×2n-1．（4分）
（2）若q=1，则S₆=2S₃，这与已知S3=

7

2

，S6=

63

2

是矛盾的，
∴q≠1，（5分）
从而S3=

a1(1-q3)

1-q

=

7

2

，S6=

a1(1-q6)

1-q

=

63

2

，（7分）
将上面两个等式的两边分别相除，
得1+q³=9，解得q=2，由此得a1=

1

2

，（8分）
∴an=

1

2

×2n-1=2n-2．（9分）
（3）∵

a1+an=66 a2an-1=a1an=128

，
∴

a1=64 an=2

或

a1=2 an=64

，（11分）
当

a1=64 an=2

时，Sn=

64-2q

1-q

=126，
∴q=

1

2

，又2=64•(

1

2

)n-1，解得n=6，（13分）
当

a1=2 an=64

时，Sn=

2-64q

1-q

=126，
∴q=2，又2=64•2^n-1，解得n=6．（15分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的灵活运用．