Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2

3

，高为4．则底面A₁B₁C₁的中心P到平面A₁BC的距离为（　　）

• A、

  12

  5

• B、

  4

  5

• C、

  6

  5

• D、

  8

  5

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出P到平面A₁BC的距离．

解答： 解：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2

3

，高为4，
∴A₁（0，0，4），B（3，

3

，0），
C（0，2

3

，0），P（1，

3

，4），

A1B

=（3，

3

，-4），

A1C

=（0，2

3

，-4），

A1P

=（1，

3

，0），
设平面A₁BC的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • A1B =3x+ 3 y-4z=0 n • A1C =2 3 y-4z=0

，
取y=2

3

，得

n

=(2，2

3

，3)，
∴P到平面A₁BC的距离d=

| A1P • n |

| n |

=

8

5

．
故选：D．

点评：本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．