Question

已知单调递增的等比数列{a_n}满足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_n•log

1

2

a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整数n的最小值．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，依题意，可得到关于a₁与q的方程组，解之即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）（1）得a_n=2ⁿ，再由b_n=a_n•log

1

2

a_n，可得b_n=-n•2ⁿ，于是S_n=-（1×2+2×2²+…+n•2ⁿ），利用错位相减法即可求得S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹
，解不等式S_n+n•2P^n+1P＞50即可求得使之成立的正整数n的最小值．

解答： 解：（1）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q．
依题意，有2（a₃+2）=a₂+a₄，代入a₂+a₃+a₄=28，
可得a₃=8，∴a₂+a₄=20，…（2分）
即

a1q2=8 a1q+a1q3=20

，解之得

q=2 a1=2

或

q= 1 2 a1=32

 …（4分）
又∵数列{a_n}单调递增，所以q=2，a₁=2，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ． …（6分）
（2）因为bn=2nlog

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2

2n=-n•2n，
所以S_n=-（1×2+2×2²+…+n•2ⁿ），
2S_n=-[1×2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹]，
两式相减，得S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹． …（10分）
要使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50，即2ⁿ⁺¹-2＞50，即2ⁿ⁺¹＞52．
易知：当n≤4时，2ⁿ⁺¹≤2⁵=32＜52；
当n≥5时，2ⁿ⁺¹≥2⁶=64＞52．故使
S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整数n的最小值为5．…（12分）

点评：本题考查数列的求和，着重考查等比数列的通项公式的应用，突出考查错位相减法求和，考查运算、分析、求解的能力，属于中档题．