【题目】已知以点为圆心的圆过原点O,与x轴另一个交点为M,与y轴另一个交点为N,
(1)求证:△MON的面积为定值;
(2)直线4x+ y-4=0与圆C交于点A、B,若,求圆C的方程
(3)若直线l:x+ y -5=0和圆C交于点A,B两点,且AB=,求圆心C的坐标。
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)(1,2)或(2,1).
【解析】
试题分析:(1)关键是求出的面积,首先写出圆
的方程
,可化简后分别令
和
求得
的坐标,从而得
的面积;(2)由
,知
在
的中垂线上,从而
,因此可得
斜率,由此可得
,得圆
方程;(3)已知直线与圆相交弦长,可由垂径定理求得弦长,即先求得圆心
到直线
的距离
,由勾股定列出关于
的方程,解得可得圆心坐标.
试题解析:(1)由题设知,圆C的方程为,化简得
,当y=0时,x=0或2t,则
;当x=0时,y=0或
,则
, ∴
为定值
(2)∵,则原点O在AB的中垂线上,设AB的中点为H,则CH⊥AB,∴C、H、O三点共线,则直线OC的斜率
,∴t=2
(负舍)
∴圆心C(2,
)∴圆C的方程为
(3)d=,r=
,弦长为
,列出方程:
,令
,方程可化为
,解得
m=3或-13(舍),则t=1或2,所以圆心C(1,2)或(2,1).
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【题目】如图(a),在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=8,AD=CD=4,将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体D-ABC,如图(b)所示.
(1)求证:BC⊥平面ACD;
(2)求几何体D-ABC的体积.
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【题目】某货轮匀速行驶在相距海里的甲、乙两地间运输货物,运输成本由燃料费用和其他费用组成.已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为
),其他费用为每小时
元,且该货轮的最大航行速度为
海里/小时.
(1)请将从甲地到乙地的运输成本(元)表示为航行速度
(海里/小时)的函数;
(2)要使从甲地到乙地的运输成本最少,该货轮应以多大的航行速度行驶?
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线
的方程是
,圆
的参数方程是
(
为参数).以原点
为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)分别求直线与圆
的极坐标方程;
(2)射线:
(
)与圆
的交点为
、
两点,与直线
交于点
,射线
:
与圆
交于
,
两点,与直线
交于点
,求
的最大值.
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【题目】(1)求过直线l1:x-2y+3=0与直线l2:2x+3y-8=0的交点,且到点P(0,4)的距离为2的直线方程.
(2)设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程;
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【题目】甲、乙两人玩数字游戏,先由甲任想一个数字记为,再由乙猜甲刚才想的数字把乙想的数字记为
,且
,
,记
.
(1)求的概率;
(2)若,则称“甲乙心有灵犀”,求“甲乙心有灵犀”的概率.
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