Question

6．已知cosα+2sinα=1，cosβ+2sinβ=1，其中α-β≠kπ，k∈Z，则cos²$\frac{α-β}{2}$=$\frac{1}{5}$．

Answer 1

分析 利用已知条件求出α、β的三角函数值，利用二倍角公式化简所求的表达式，利用两角和与差的余弦函数求解即可．

解答 解：cosα+2sinα=1，cosβ+2sinβ=1，其中α-β≠kπ，k∈Z，可得α，β是cosx+2sinx=1的解，又cos²x+sin²x=1，
可得cosα=1，sinα=0，cosβ=$-\frac{3}{5}$，sinβ=$\frac{4}{5}$或cosβ=1，sinβ=0，cosα=$-\frac{3}{5}$，sinα=$\frac{4}{5}$．
当cosα=1，sinα=0，cosβ=$-\frac{3}{5}$，sinβ=$\frac{4}{5}$，
cos²$\frac{α-β}{2}$=$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}$cos（α-β）=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$（cosαcosβ+sinαsinβ）=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$（$-\frac{3}{5}$）=$\frac{2}{10}$=$\frac{1}{5}$．
当cosβ=1，sinβ=0，cosα=$-\frac{3}{5}$，sinα=$\frac{4}{5}$．
cos²$\frac{α-β}{2}$=$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}$cos（α-β）=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$（cosαcosβ+sinαsinβ）=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$（$-\frac{3}{5}$）=$\frac{2}{10}$=$\frac{1}{5}$．
综上cos²$\frac{α-β}{2}$=$\frac{1}{5}$．
故答案为：$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查三角函数的恒等变换的应用，两角和与差的三角函数，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．