Question

17．已知点A（2，3），B（6，1），O为坐标原点，P为x轴上一动点．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{BP}$，求点P的坐标；
（Ⅱ）$当\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}取最小值时，求向量\overrightarrow{AP}与\overrightarrow{BP}的夹角的余弦值$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意设出点P（x，0），利用坐标表示出$\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{BP}$，根据$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{BP}$=0列方程求出x的值；
（Ⅱ）由$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{BP}$是关于x的二次函数，求出最小值对应的$\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{BP}$的值，再求$\overrightarrow{AP}$与$\overrightarrow{BP}$夹角的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，设点P（x，0），
又点A（2，3），B（6，1），
∴$\overrightarrow{AP}$=（x-2，-3），$\overrightarrow{BP}$=（x-6，-1），
又$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{BP}$，
∴$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{BP}$=（x-2）（x-6）+（-3）×（-1）=x²-8x+15=0，
解得x=3或x=5，
∴点P的坐标为（3，0）或（5，0）；
（Ⅱ）由$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{BP}$=（x-2）（x-6）+（-3）×（-1）=x²-8x+15=（x-4）²-1，
当x=4时，$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{BP}$取得最小值-1，
此时$\overrightarrow{AP}$=（2，-3），$\overrightarrow{BP}$=（-2，-1），
|$\overrightarrow{AP}$|=$\sqrt{13}$，|$\overrightarrow{BP}$|=$\sqrt{5}$，
∴$\overrightarrow{AP}$与$\overrightarrow{BP}$夹角的余弦值为：
cosθ=$\frac{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}}{|\overrightarrow{AP}|×|\overrightarrow{BP}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{13}×\sqrt{5}}$=-$\frac{\sqrt{65}}{65}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积与二次函数的应用问题，是中档题．