Question

9．△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$bsinA=\sqrt{3}acosB$．b=3，sinC=2sinA，则a+c=3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由已知及正弦定理，同角三角函数基本关系式可求tanB=$\sqrt{3}$，结合B∈（0，π），可得B=$\frac{π}{3}$，由余弦定理可得9=a²+c²-ac，由正弦定理可得：c=2a，进而解得a，c的值，从而得解．

解答 解：∵$bsinA=\sqrt{3}acosB$，可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{\sqrt{3}cosB}$，
∴由$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，可得：sinB=$\sqrt{3}$cosB，
∴tanB=$\sqrt{3}$，结合B∈（0，π），可得：B=$\frac{π}{3}$，
又∵b=3，
∴由余弦定理可得：9=a²+c²-ac，…①
∵sinC=2sinA，
∴由正弦定理可得：c=2a，…②
∴联立①②可得：a=$\sqrt{3}$，c=2$\sqrt{3}$，a+c=3$\sqrt{3}$．
故答案为：$3\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．